Wer ein Masterzeugnis der ETH in den Händen hält, hat etwa 20 Jahre Ausbildung genossen. Man könnte meinen, damit auf dem Höhepunkt seiner Fähigkeiten angekommen zu sein und sein Wissen nun in die Welt tragen zu können. Die Didaktik geht jedoch davon aus, dass man Lernstoff erst viele Jahre später wirklich verstanden hat. Mit Wissen besteht man eine Prüfung. Erst das Verständnis erlaubt es, die wirkliche Kraft des Wissens freizusetzen.

Den Unterschied zwischen Wissen und Verständnis möchte ich anhand eines Rätsels illustrieren: Die Erde hat einen Umfang von etwa 40'000 Kilometern. Wir legen ein ideales Tau als Ring um den Äquator, so dass es die Erde eng umschliesst. Dabei nehmen wir die Erde ideal rund an und vernachlässigen die Einflüsse von Bergen und Wasser. Nun machen wir den Ring einen Meter länger, indem wir ein kurzes Stück Tau einfügen. Und wir ziehen den Ring wieder rund, so dass er ein kleines Stück von der Erde abhebt. Die Frage ist: Wie gross wird die Distanz des Rings zur Erde?

Für dieses Rätsel braucht man nur elementares Wissen, nämlich den Zusammenhang zwischen Radius und Umfang eines Kreises. Wer dieses elementare Wissen hat, kann die Gleichungen aufstellen und ein vielleicht überraschendes, aber korrektes Ergebnis erhalten. Wer Proportionalität wirklich verstanden hat, kann das Problem innerhalb von Sekunden lösen und ist vielleicht auch nicht überrascht. Proportionalität bedeutet, dass zwei Grössen mit einem fixen Faktor verbunden sind. Beim Kreis ist der Faktor zwischen Radius und Umfang zweimal die Zahl Pi (3,14159..).

Bei der UBS-Aktie ist der Faktor zwischen Anzahl Aktien und Anzahl Franken zur Zeit etwa 13. Wenn ich nun 40 Mio. Franken in UBS-Aktien anlege und mich entscheide, einen Franken draufzulegen, bekomme ich dafür natürlich 1/13 Aktie extra. Und wenn ich auf 40'000 km Umfang einen Meter anfüge, bekomme ich 1/(2*Pi) Meter Radius extra, also etwa 1/6 Meter.

Proportionale Eigenschaften haben eine spezielle Eigenschaft: Interessieren wir uns nur für Veränderungen, so sind die absoluten Werte unwichtig. Und das führt zum vielleicht erstaunlichen Resultat, dass die Verlängerung unseres Taus um einen Meter den Ring auf dem Äquator um 17 cm abheben lässt, und dass dies auch gilt, wenn wir ein Tau um den Jupiter, unseren Mond oder einen Tennisball legen.

Proportionalität ist ein einfaches Konzept, aber die wenigsten (Autor eingeschlossen) lösen dieses Problem auf die schnelle Art. Und die meisten sind überrascht über das Ergebnis. Wenn der Mensch schon Mühe hat, das Äquatorproblem zu lösen (ein Unternehmensberater hat mir übrigens einmal lang erklärt, das ich mit meiner Lösung offensichtlich um ein paar Grössenordnungen falsch liege), dann ist er schier  überfordert mit exponentiellen Entwicklungen. Es gibt einen sehr interessanten Vortrag von Prof. Dr. Albert A. Bartlett mit dem Titel "Arithmetic, Population and Energy". Bartlett geht dabei sogar so weit, folgende These aufzustellen: "The greatest shortcoming of the human race is our inability to understand the exponential function."

Ein zweites Rätsel: Eine bestimmte Seerosenart verdoppelt ihre Fläche jeden Tag, und man hat berechnet, dass sie einen See in 50 Tagen vollständig bedecken wird. Nach wieviel Tagen ist der See halb bedeckt? Die Antwort ist natürlich 49 Tage. Am letzten Tag wird sie sich wieder verdoppeln und den ganzen See bedecken. Und innerhalb jeder Verdopplungszeit hat die Seerosenart soviel Fläche bedeckt wie in der gesamten Zeit vorher.

Jeder exponentielle Prozess verhält sich wie die Seerosen, und wie bei den Seerosen können wir für jeden exponentiellen Prozess die Verdopplungszeit ausrechnen mit der einfachen Näherungsformel: 70/(Prozentzuwachs pro Zeit). Bei einem Wachstum einer Grösse von zwei Prozent pro Jahr verdoppelt sich die Grösse in 70/2 = 35 Jahren. Und wenn diese Grösse z.B. der Energieverbrauch pro Jahr ist, so bedeutet das weiterhin, dass innerhalb von 35 Jahren soviel Energie verbraucht wird, wie in der gesamten Zeit vorher. Eine exponentielle Entwicklung gegen endliche Ressourcen wird nie ewig gültig sein. Das Ressourcenproblem zeigt sich bei exponentiellen Entwicklungen jedoch mitunter spät. Beim Seerosensee wird einem bei mangelndem Verständnis vielleicht erst am 49. Tag bewusst, dass man ein Problem hat.

Die arithmetischen Konsequenzen sollte man im Auge haben, wenn man irgendwo exponentielles Wachstum erwartet. Während Überraschungen bei Rätseln unterhaltsam sind, sind sie schmerzhaft bei Fragen von Bevölkerung, Energiebedarf oder Aktienkursen.

Das Fazit aus diesen Überlegungen ist: Nicht Wissen, sondern Verständnis wird uns helfen, die Probleme unserer Zeit, bei denen unsere Intuition versagt, zu lösen. Dafür braucht es das Verarbeiten und Verstehen des gesammelten Wissens. Und wer Zusammenhänge erkennen will, sollte sehr genau wissen, wo die Punkte liegen, und nicht nur dazwischen suchen.

Zum Autor

Seit eineinhalb Jahren ist Georg Wilckens Doktorand am Institut für Signal- und Informationsverarbeitung. Zuvor studierte er Elektrotechnik, ebenfalls an der ETH. Bei Abschluss seiner Promotion wird der Deutsche ein Drittel seines bisherigen Lebens an dieser Hochschule verbracht haben, was ihn nach eigenen Angaben «etwas nervös» macht. Bis jetzt hat er neun von seinen 29 Lebensjahren in Zürich gelebt und studiert. Aufgewachsen ist Wilckens in der Nähe von Düsseldorf und hat eine beinahe nomadische Kindheit mit zahlreichen Umzügen erlebt. Als Student hat er sich bereits früh engagiert und sich an der ETH unter anderem als Mitbegründer der Nightline Zürich, einer «Dargebotenen Hand» für die Studierenden der ETH und der Uni, einen Namen gemacht. Auch bei der Gründung einer Alumnigruppe des AMIV war er dabei. Hobbymässig blickt Wilckens an jedem schönen Wochenende als brevetierter Überflieger auf die Schweiz hinab: Zu seinen grossen Leidenschaften gehört das Segelfliegen.